Квадратные уравнения

Дискриминант
Теорема Виета
Переброска
Сумма коэффициентов
Применение ФСУ

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

Решения этого уравнения — это пересечение графика функции с осью абсцисс, то есть прямой . В блоке про квадратичную функцию приведен разбор, как коэффициенты влияют на расположение графика функции и, соответственно, на количество корней уравнения, а также вывод формулы дискриминанта и корней.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Их количество и сами корни всегда можно найти, вычислив дискриминант.

Дискриминант

Формула дискриминанта:

Формула корней квадратного уравнения:

Так как в математике давно существуют комплексные числа, в которые входят корни из отрицательных чисел, не совсем корректно говорить, уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля. Оно имеет корни, просто они не будут вещественными.
Мы имеем три случая:

— уравнение имеет два вещественных корня
— уравнение имеет всего один вещественный корень (так как в числителе будет )
— уравнение не имеет вещественных корней

Пример

В предыдущем блоке получен следующий результат:

ОДЗ:

На ОДЗ имеем:

Мы получили два корня, но решением исходного уравнения будет являться только один из них: . Второй корень не подходит нам, так как не удовлетворяет ограничениям и обращает знаменатель в ноль

Дискриминант, деленный на 4

Для уравнений с чётным коэффициентом удобнее пользоваться видоизменёнными формулами дискриминанта и корней. Они получаются из основных простым сокращением. Итак, — чётное, значит, — целое число. В таком случае, в формуле для корней мы можем сократить:

Дискриминант, делённый на 4, в этом случае также будет целым числом (конечно, только в том случае, когда все коэффициенты целые):

Итак, в случае с чётным коэффициентом мы можем пользоваться следующими формулами:

Пример

Дискриминант позволяет решить любое квадратное уравнение, но в некоторых случаях намного быстрее и эффективнее пользоваться другими способами, потому что при решении через дискриминант могут возникать довольно трудоёмкие вычисления, а на экзамене не хотелось бы тратить много времени на извлечение корня из, например, 139129. Поэтому стоит рассмотреть ещё несколько способов решения квадратных уравнений.

Теорема, обратная теореме Виета

Этот способ подходит для уравнений, в которых . Это, так называемые, приведённые квадратные уравнения. В общем виде их записывают так:

В таком случае, мы можем найти корни из следующей системы:

Часто корни можно просто найти подбором, но не всегда решения очевидны. Тогда мы можем проанализировать систему уравнений по следующему алгоритму:

Смотрим на знак произведения корней , то есть, знак коэффициента . Если произведение корней положительно, значит, корни имеют одинаковый знак (либо оба положительные, либо оба отрицательные). Если же произведение отрицательно, то корни имеют разные знаки. Для определённости можно всегда принять ,
По сумме корней , то есть по значению , можем однозначно определить знаки корней (если корни разных знаков, мы можем понять, какой из них больше по модулю)
Не обращая внимание на знак, раскладываем на множители коэффициент всеми возможными способами. Учитываем, что в зависимости от знаков корней, либо сумма, либо разность абсолютных их значений должна быть равна и находим подходящие значения

Пример

По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

Так как произведение положительно, корни имеют один и тот же знак. Сумма положительна, поэтому этот знак — плюс. Число 72 можно разложить на произведение разными способами:

Из всех этих вариантов только 9 и 8 дают в сумме 17, значит, корни данного уравнения:

Переброска

Теорема, обратная теореме Виета, позволяет практически устно решать многие приведённые уравнения. Метод переброски позволяет свести обычное квадратное уравнение к приведённому таким образом, чтобы удобно было искать корни с использованием теоремы Виета. Ниже приведен краткий вывод этого метода:

Для получившегося уравнения на переменную t мы можем найти корни по теореме, обратной теореме Виета, а затем вернуться к старой переменной:

Этот метод называется переброской, так как в процессе решения мы “перебрасываем” коэффициент a к свободному коэффициенту c в качестве множителя. Мы получаем новое уравнение, но, зная его корни, мы легко найдем корни исходного уравнения, “перебросив” коэффициент a обратно. Краткий алгоритм без пояснений выглядит так:

Пример

Перебрасываем коэффициент к свободному коэффициенту . Получаем уравнение на переменную :

По теореме, обратной теореме Виета:

Теперь вычисляем корни исходного уравнения как :

Сумма коэффициентов

Здесь мы работаем с обычным квадратным уравнением

Если , то
Если , то

Второй корень в обоих случаях можно найти по формуле

Пример

Здесь , поэтому:

Применение ФСУ

Иногда все перечисленные выше методы оказываются неудобными. В таком случае можно попробовать воспользоваться формулами сокращенного умножения.

Пример

Первые два слагаемых напоминают часть формулы квадрата разности . Как видно, в роли выступает , то есть . В то же время , поэтому . Таким образом, чтобы выделить полный квадрат, нужно записать выражение в виде:

Здесь мы отняли и прибавили единицу, значение всего выражения не изменилось. Теперь выделим полный квадрат и получим простейшее квадратное уравнение:

Предыдущая тема Следующая тема