Градусная мера всей окружности — , а её длина — . радиан — это угол, опирающийся на дугу длиной . Составив пропорцию, можем выразить радиан в градусах:

Нам удобнее будет пользоваться этим соотношением в другом виде:

Таким образом, полный круг — это радиан. Половина круга () — радиан, четверть () — , шестая часть () — и так далее

Рассматривая прямоугольные треугольники, мы вводили тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. На самом деле, их понятие гораздо шире: существуют синусы и косинусы для углов, далеко выходящих за рамки треугольников. Например, можно вычислить значение какой-либо тригонометрической функции для отрицательного угла или для угла . Прежде чем с этим разобраться, вспомним, что такое синус и косинус в прямоугольном треугольнике и попробуем расширить эти понятия.

Для начала мы изобразим окружность, у которой радиус равен единице () в прямоугольной системе координат. Названия осям мы пока давать не будем. Возьмем произвольную точку из первой четверти окружности и проведем к ней радиус из начала координат. Угол с положительным направлением горизонтальной оси обозначим как (в радианах). Поскольку центральный угол в 1 радиан опирается на дугу, равную радиусу (в нашем случае единице), то угол в радиан опирается на дугу, имеющую длину . Таким образом, сама линия окружностью будет являться осью : двигаясь против часовой стрелки мы увеличиваем угол, то есть, двигаемся в положительном направлении оси , двигаясь по часовой стрелке — уменьшаем угол, двигаемся в отрицательном направлении.

Построим прямоугольный треугольник опустив перпендикуляр на горизонтальную ось, как показано на рисунке. Катет (см. рисунок) — противолежащий к углу , значит, синус этого угла равен:

То есть, координата произвольной точки по вертикали равна синусу такого центрального угла. Это дает нам право обозначить вертикальную ось как ось синусов. Аналогично с горизонтальной осью — , горизонтальная ось — это ось косинусов.

Также возникновение окружности легко объяснить, исходя из основного тригонометрического тождества:

В координатах это выражение является уравнением окружности.

Похожим образом можно заполнить и остальные три четверти окружности, но на горизонтальной и вертикальных осях будут уже и отрицательные числа (так как мы будем находиться слева и снизу от нуля соответственно). Если мы заполним табличными значениями синуса и косинуса всю окружность от нуля до , это будет выглядеть так:

Ось тангенсов располагается параллельно оси синусов и касается окружности в крайней правой её точке. Ось котангенсов — параллельно оси косинусов, касается окружности в крайней верхней точке. Объясним геометрически такое расположение осей на примере оси тангенсов. На рисунке такая ось выделена синим цветом, мы пока не обозначаем её осью тангенсов, а только предполагаем.

У нас есть два прямоугольных треугольника: у маленького прилежащий к углу x катет равен косинусу и противолежащий равен синусу, у большого треугольника прилежащий катет равен единице, а противолежащий обозначен вопросительным знаком. Эти треугольники подобны (как минимум, по двум углам: общий угол x и прямые углы в обоих треугольниках), поэтому мы можем приравнять отношения катетов:

Таким образом, катет большого треугольника равен тангенсу угла . Конечно, это обоснование годится только для углов первой четверти, но, как и в рассмотренных выше ситуациях, для нас важнее понимание, а не строгое обоснование.

Расположение осей на общем графике с выделенными табличными значениями выглядит следующим образом: