Прежде чем изучить строгое формальное определение функции, стоит рассмотреть на понятных примерах, что это за математическая конструкция и для чего она нужна. В качестве примера рассмотрим зависимость начисленного налога от суммы доходов физического лица.

Для каждой суммы мы можем без труда вычислить налог, так как мы знаем, что он составляет 13% от дохода. Например, на 1000 рублей дохода будет начислен налог 130 рублей, на 2000 — 260 рублей, на 3000 — 390 рублей и так далее. Информацию о том, каким образом начисляется налог мы можем хранить разными способами. Самый примитивный — таблица, где для разных сумм вычислен налог. Недостатки такого способа очевидны: кроме того, что мы не сможем узнать, какой налог будет начислен на сумму, которой нет в таблице, нам еще и нужно где-то хранить этот большой объем данных.

Гораздо компактнее и эффективнее такую зависимость хранить в виде формулы, а точнее, функции. Функция — это зависимость одной переменной от другой. Независимая переменная называется аргументом, а зависимая — функцией. В этом примере в качестве независимой переменной выступает доход физического лица — это аргумент функции. Зависимая переменная — налог, начисленный на доход — это сама функция. Задать её можно аналитически, в виде формулы, или графически, в виде графика на координатной плоскости. Аналитически наша функция будет выглядеть следующим образом:

— это зависимость начисленного налога от дохода физического лица. При разных значениях аргумента функция принимает разные значения, показывая, какой налог соответствует конкретному доходу.

В этом определении важно , что каждому значению аргумента всегда соответствует ровно одно значение функции, в то время как некоторому значению функции может соответствовать несколько значений аргумента. Могут быть такие значения аргумента, при которых функция не определена (например, для функции корня нет возможности использовать отрицательные значения аргумента)