Перед началом работы со стереометрией полезно напомнить ученику о том, что такое определения, признаки и свойства, и как они используются на практике.
- По определению мы можем заключить какой-то факт: например, если прямые на плоскости не пересекаются, то они параллельны (см теорию по параллельным прямым). Но во многих случаях определением пользоваться неудобно, как в нашем примере — крайне сложно доказать, что прямые не пересекаются
- Признак даёт нам возможность идентифицировать объект, зачастую проще, чем по определению. Устанавливая параллельность прямых по равенству накрест лежащих углов, мы как раз пользуемся признаком параллельности прямых. Признаки созданы для удобного их использования на практике, но в их основе всё равно лежат определения
- Свойство — это факт или утверждение, которое следует из определения. Например, мы знаем, что две прямые параллельны и их пересекает третья. Заключая, что накрест лежащие углы равны, мы пользуемся свойством параллельных прямых
Аксиомы стереометрии
1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, единственным образом можно провести плоскость
Отсюда будет следовать, что через прямую и точку, не лежащую на ней, а также через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость
2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (прямая лежит в данной плоскости)
3
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей
Параллельность прямых, прямой и плоскости
Определение:
Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются
Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются
Крайне важно, что параллельные прямые обязательно лежат в одной плоскости: не пересекающиеся прямые в пространстве не обязательно будут параллельными.
Определение:
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна всей плоскости:
Скрещивающиеся прямые
Определение:
Скрещивающимися называются прямые, не лежащие в одной плоскости
Скрещивающимися называются прямые, не лежащие в одной плоскости
Можно сказать, что скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не пересекаются и в то же время не являются параллельными. Чтобы это представить, мы можем мысленно нарисовать на потолке комнаты прямую, а затем нарисовать на полу другую прямую таким образом, чтобы они не были параллельны. На рисунке изображено подобное расположение прямых на гранях куба.
Всего существует три случая взаимного расположения прямых в пространстве:
1
Пересекающиеся прямые
2
Параллельные прямые
3
Скрещивающиеся прямые
Теорема о скрещивающихся прямых
Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно единственным образом провести плоскость, параллельную другой прямой
Суть этой теоремы заключается в том, что скрещивающиеся прямые единственным образом задают параллельные плоскости (в нашем примере это были пол и потолок, других параллельных плоскостей, в которых лежали бы эти прямые, не существует).
Угол между скрещивающимися прямыми
Есть две скрещивающиеся прямые и . Выберем произвольную точку на прямой (выбор прямой не важен) и проведем через неё прямую , параллельную . Угол между прямыми и — это угол между скрещивающимися прямыми и . Важно, что параллельный перенос любой из прямых не меняет угол между ними.
Параллельность плоскостей
Определение:
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются
Признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны
Признак позволяет на практике заключить параллельность плоскостей, когда выполнены соответствующие условия. На рисунке изображены плоскости и нужные прямые. Если сформулировать признак более формально, то для данного чертежа выглядеть он будет так:
Такие вводные нужны по объяснимым причинам. Одной пары параллельных прямых недостаточно, так как плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой, значит, простыми словами, при наличии лишь одной пары прямых плоскости можно было бы вращать вокруг этих прямых, следовательно, менять угол между плоскостями и пересекать их. Вторая пара прямых, которые пересекают первые две, фиксирует угол наклона плоскостей друг относительно друга, однозначно определяя их положение в пространстве.
Важные свойства параллельных плоскостей
1
Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей, параллельны друг другу
Прямые и в данном случае параллельны по определению: они не пересекаются, так как лежат в параллельных плоскостях, а также лежат в одной плоскости .
2
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны
Так как отрезки и лежат на параллельных прямых, то они параллельны. Согласно предыдущему свойству, отрезки и тоже параллельны, так как все эти отрезки лежат в одной плоскости, содержащей прямые и . Значит, четырехугольник по определению является параллелограммом, а у параллелограмма противоположные стороны равны, то есть, .
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение:
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (прямые могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися)
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (прямые могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися)
Определение:
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
Последним определением удобно пользоваться, когда мы уже знаем, что прямая перпендикулярна к плоскости, и хотим заключить перпендикулярность этой прямой к какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Для установления перпендикулярности на практике используется признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Два важных следствия из определений:
- Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости
- Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны между собой
Определение:
Расстоянием от точки до плоскости называется отрезок перпендикуляра, заключенный между данной точкой и точкой пересечения перпендикуляра с плоскостью
Расстоянием от точки до плоскости называется отрезок перпендикуляра, заключенный между данной точкой и точкой пересечения перпендикуляра с плоскостью
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости:
При этом прямая не обязана пересекать плоскость именно в точке пересечения прямых и . Параллельный перенос не изменяет углов, поэтому прямая a может пересекать плоскость в любой точке.
Угол между прямой и плоскостью
На рисунке изображена плоскость с не лежащей на ней точкой . Проведем к этой плоскости перпендикуляр (его длина равна расстоянию от точки до плоскости ), а также возьмем на плоскости точку , не совпадающую с точкой .
— перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости
— наклонная, проведенная из точки к плоскости
— проекция наклонной на плоскость
— угол между прямой и плоскостью
Определение:
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость
Проекция содержит проекции всех точек наклонной на плоскость . Проецировать на плоскость можно как точки и прямые, так и плоские фигуры, не лежащие в этой плоскости. Для этого достаточно построить проекции всех отрезков, составляющих исходную фигуру.
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной
Если — наклонная, а — её проекция, то для прямой это означает:
Доказательство этой теоремы сводится к двум простым мыслям:
, так как по определению прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
Тогда прямая a перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости : — по условию теоремы, — доказали выше. Значит, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости , следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, .
— по определению
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции
Обратная теорема доказывается так же, как и исходная.
Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
Определение:
Двугранный угол — это фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями, не лежащими в одной плоскости, для которых прямая a является общей границей (см. рисунок)
Двугранный угол — это фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями, не лежащими в одной плоскости, для которых прямая a является общей границей (см. рисунок)
Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный лучами, проведенными в каждой грани перпендикулярно к ребру двугранного угла (угол между лучами и на рисунке).
Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.
Двугранный угол, как и линейный, может быть острым, прямым или тупым.
Определение:
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны:
Чтобы доказать признак, достаточно провести через точку пересечения c прямую перпендикулярно прямой , по которой пересекаются плоскости и . Прямая перпендикулярна плоскости , значит, и , так как они лежат в этой плоскости. Тогда угол между прямыми и является линейным углом двугранного угла между плоскостями и , а он, как мы выяснили, является прямым
