Откуда берутся ограничения: см. логарифмические уравнения.

Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции. Чтобы это показать, возьмем число x, возведем в эту степень какое-нибудь основание (пусть это будет число , оно должно быть положительным и не равным единице) и получим . Теперь возьмем от полученного выражения логарифм по тому же основанию и преобразуем, согласно свойствам логарифмов:

Получается, что логарифмирование по основанию отменяет операцию возведения в степень . То есть, эти операции являются обратными по отношению друг к другу. Также и функции — показательная и логарифмическая — являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой (см. рисунок)

Характер монотонности (возрастание или убывание) логарифмической функции, как и в случае с показательной функции, зависит от значения основания . При график логарифма будет убывать, а при — возрастать. Проиллюстрируем, почему так, на примере логарифмов с основаниями и (пользуемся свойствами логарифмов):

То есть, логарифм по основанию — это логарифм по основанию , взятый со знаком минус. Тогда график первого будет зеркальным отражением графика второго относительно оси x, как показано на рисунке. Любое число, меньшее единицы, можно представить как число, большее единицы, в отрицательной степени и получить такое же соотношение.

Коэффициент — “вытягивает” график по направлению оси
Коэффициент — отвечает за смещение графика влево-вправо, определяет положение вертикальной асимптоты
Коэффициент — отвечает за смещение графика вверх-вниз