Дробно-линейная функция
Дробно-линейная функция — это функция, которую можно представить в в виде суммы постоянного коэффициента и дроби, имеющей зависимость от аргумента только в знаменателе:
Графиком такой функции является гипербола. В самом простом случае, при , мы имеем дело с обратной пропорциональностью (график при изображен на рисунке):
Даже в самом простом случае мы сталкиваемся с ограничением — не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Также мы никак не получим значение , так как для этого необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю, а знаменатель не равен. Получается, у нас есть две прямые ( и ), которые не содержат значений функций. Кроме того, график будет стремиться к этим прямым с уходом на бесконечность (ветви гиперболы прижимаются к этим прямым). Такие прямые называются асимптотами.
Асимптоты и смысл коэффициентов
Асимптота — прямая, к которой график функции неограниченно приближается (но не достигает).
Посмотрим еще раз на уравнение функции:
По мере увеличения аргумента знаменатель дроби также будет увеличиваться, значит, сама дробь будет уменьшаться и стремиться к нулевому значению:
Тогда значение функции стремится к свободному коэффициенту:
Это и есть горизонтальная асимптота. Функция никогда не принимает такое значение, но по мере увеличения абсолютного значения аргумента всё сильнее к нему приближается.
Также известно, что на ноль делить нельзя, но можно попробовать постепенно уменьшать знаменатель: в таком случае дробь будет бесконечно увеличиваться (или уменьшаться, то есть, увеличиваться в отрицательную сторону, если мы подходим к нулю слева). Прямая является вертикальной асимптотой, так как обращает знаменатель дроби в ноль.
Интерактивный график
Дробно-линейная функция
y = k x
При k = 0 функция является константой: y = c
k числитель
1
b верт. асимпт.
0
c гориз. асимпт.
0