Квадратичная функция
Квадратичная функция — это функция вида , где — действительные числа и (если , то мы будем иметь дело с линейной функцией)
Графиком квадратичной функции является парабола.
Коэффициент a
Для простоты рассмотрим функцию вида , где . Здесь на знак влияет только коэффициент , так как не может принимать отрицательные значения. Поэтому при график функции лежит в верхней полуплоскости (ветви параболы направлены вверх), а при — в нижней (ветви параболы направлены вниз).
Абсолютное значение коэффициента влияет на ширину параболы. Можно сказать, что — это коэффициент сжатия параболы. На примере положительных значений, чем больше , тем больше значение функции для каждого значения аргумента: при одинаковых , чем больше , тем выше лежит точка на графике, соответственно, тем более узкой становится парабола.
Влияние знака коэффициента на вид графика
Влияние абсолютного значения на вид графика
Знак коэффициента определяет направление ветвей параболы: — ветви вверх, — ветви вниз
Абсолютное значение этого коэффициента (его модуль) влияет на ширину параболы: чем больше , тем более узкой будет парабола
Коэффициент b
Важное свойство параболы — симметрия. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину. Так как корни квадратного уравнения — точки пересечения параболы с осью — в силу симметрии расположены на равных расстояниях от вершины, мы можем с их помощью точно определить координату вершины, вычислив их среднее арифметическое:
Координата вершины параболы по оси определяется коэффициентами и :
Коэффициент c
Этот коэффициент является свободным, то есть не умножается на переменную. Как и в случае с линейной функцией, свободный коэффициент определяет пересечение графика с осью y, так как точка (0;c) принадлежит одновременно и оси y, и графику функции.
Интерактивный график
Квадратичная функция
y = x²
a при x²
1
b при x
0
c свободный
0
Определение коэффициентов по графику
Квадратичная функция имеет три коэффициента. Чтобы их найти, нужна система из трех уравнений, значит, необходимо знать координаты трех точек.
Пример
Рассмотрим функцию , график которой приведен на рисунке.
По трём выделенным точкам составим систему уравнений:
Вычитая второе уравнение сначала из первого, затем из второго уравнения, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, решить которую уже проще. Коэффициент при вычитании уравнений уничтожается, так как является свободным:
Складывая уравнения, получим:
Теперь можем записать конкретный вид квадратичной функции:
Можно было подойти к решению иначе, определив по пересечению с осью коэффициент . В данном случае он равен . После этого решение задачи сводится к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными. Уравнения можно получить, подставив какие-либо две точки в уравнение функции, как было сделано выше. Одно из уравнений также можно получить, пользуясь формулой для вершины параболы: по графику .
Нули квадратичной функции
Нули любой функции — это пересечения её графика с осью , то есть решения уравнения . Парабола может пересекать ось не больше двух раз, то есть любое квадратное уравнение имеет не больше двух корней (эти рассуждения касаются только вещественных чисел, комплексные числа в рамках подготовки к ЕГЭ не рассматриваются).
Дискриминант определяет количество корней квадратного уравнения. Покажем, как значение дискриминанта влияет на вид графика квадратичной функции. В блоке с квадратными уравнениями были выведены формулы дискриминанта и корней:
Были определены три случая:
- — уравнение имеет два различных корня
- — уравнение имеет один корень
- — уравнение не имеет вещественных корней
Из формулы корней видно: чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. На рисунках ниже показано, как выглядит парабола с положительным коэффициентом при разных значениях дискриминанта.
