Линейная функция
Линейная функция — это функция вида , где и — любые действительные числа
Графиком линейной функции всегда является прямая. Положение этой прямой на координатной плоскости полностью определяется коэффициентами и .
Коэффициент b
Коэффициент задаёт координату пересечения графика с осью
Если подставить в уравнение линейной функции значение x, равное нулю, то мы получим равенство y=b. Таким образом, графику будет принадлежать точка (0; b), как показано на рисунке. А эта точка — пересечение графика функции с осью y
Коэффициент k
Так как этот коэффициент связывает значения и напрямую, то можем предположить, что он как-то влияет на угол наклона прямой. На левом рисунке отмечены точки, координаты одной из них очевидны — . Другая точка — пересечение графика с осью , то есть координата равна нулю и мы можем подставить её в уравнение функции, чтобы найти координату :
Тогда вторая точка . Чтобы подобраться поближе к углу наклона прямой, рассмотрим треугольник, содержащий точки , и начало координат. Мы в нём знаем оба катета, поэтому можем найти тангенс угла :
Коэффициент определяет угол наклона прямой и равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси :
Если , то есть и , то прямая наклонена вправо. Если — влево
Частные случаи
:
Уравнение функции примет вид — прямая пропорциональность. Графиком будет прямая, проходящая через начало координат.
:
Уравнение примет вид . Как видно, пропадает зависимость от , то есть теперь при любом значении аргумента значение функции имеет постоянное значение. Значит, графиком будет горизонтальная прямая.
Уравнение функции примет вид — прямая пропорциональность. Графиком будет прямая, проходящая через начало координат.
:
Уравнение примет вид . Как видно, пропадает зависимость от , то есть теперь при любом значении аргумента значение функции имеет постоянное значение. Значит, графиком будет горизонтальная прямая.
Интерактивный график
Линейная функция
y = x
При k = 0 функция является константой: y = b
k наклон
1
b сдвиг
0
Определение коэффициентов по графику
Для того чтобы однозначно определить вид линейной функции (то есть, найти её коэффициенты) достаточно знать координаты двух точек на графике. В общем случае мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которая имеет единственное решение.
Пример
Точки и принадлежат графику функции . Нужно найти коэффициенты и .
Подставим координаты этих точек в уравнение функции:
Получаем систему:
Поскольку перед в обоих уравнениях множители одинаковы (равны единице), то такую систему удобно решать, вычитая из одного уравнения другое. Вычтем из нижнего уравнения верхнее:
Чтобы найти , подставим найденное значение в любое из уравнений:
Теперь мы полностью восстановили линейную функцию:
Альтернативное решение
Задачу можно было решить иначе, воспользовавшись свойствами коэффициентов и . Коэффициент находится из пересечения графика функции с осью : в данном случае -координата пересечения равна (см. левый рисунок). Коэффициент определяется как тангенс угла наклона прямой. Чтобы его найти, достаточно построить прямоугольный треугольник по точкам, данным в условии (см. правый рисунок). Таким образом, коэффициент :
