Прежде чем изучить строгое формальное определение функции, стоит рассмотреть на понятных примерах, что это за математическая конструкция и для чего она нужна. В качестве примера рассмотрим зависимость начисленного налога от суммы доходов физического лица.

Для каждой суммы мы можем без труда вычислить налог, так как мы знаем, что он составляет 13% от дохода. Например, на 1000 рублей дохода будет начислен налог 130 рублей, на 2000 — 260 рублей, на 3000 — 390 рублей и так далее. Информацию о том, каким образом начисляется налог мы можем хранить разными способами. Самый примитивный — таблица, где для разных сумм вычислен налог. Недостатки такого способа очевидны: кроме того, что мы не сможем узнать, какой налог будет начислен на сумму, которой нет в таблице, нам еще и нужно где-то хранить этот большой объем данных.

Гораздо компактнее и эффективнее такую зависимость хранить в виде формулы, а точнее, функции. Функция — это зависимость одной переменной от другой. Независимая переменная называется аргументом, а зависимая — функцией. В этом примере в качестве независимой переменной выступает доход физического лица — это аргумент функции. Зависимая переменная — налог, начисленный на доход — это сама функция. Задать её можно аналитически, в виде формулы, или графически, в виде графика на координатной плоскости. Аналитически наша функция будет выглядеть следующим образом:

— это зависимость начисленного налога от дохода физического лица. При разных значениях аргумента функция принимает разные значения, показывая, какой налог соответствует конкретному доходу.

В этом определении важно , что каждому значению аргумента всегда соответствует ровно одно значение функции, в то время как некоторому значению функции может соответствовать несколько значений аргумента. Могут быть такие значения аргумента, при которых функция не определена (например, для функции корня нет возможности использовать отрицательные значения аргумента)

У каждой функции есть область определения — это множество всех допустимых значений аргумента. Обозначается как или . Область значений функции обозначается как или и является множеством всех значений, принимаемых функцией на области определения.

Рассмотрим функцию : так как корни из отрицательных чисел не извлекаются (в рамках множества вещественных чисел, на котором мы работаем с функциями в школьном курсе), может принимать только неотрицательные значения. Сама функция при этом также может принимать любые неотрицательные значения. Поэтому:

Для любой функции можно нарисовать график на координатной плоскости. У нас есть формула, в которую мы можем подставить любое допустимое значение аргумента и получить значение функции. Обычно в декартовых координатах аргумент располагается на оси , а значениям функции соответствует -координата, хотя оси мы всегда можем назвать любым удобным способом. Подставляя в формулу разные значения аргумента и вычисляя для них значение функции, мы получаем набор точек на плоскости, которые обычно соединяют гладкой линией (иногда это прямая, иногда кривая, зависит от функции), чтобы получить график. Это позволяет увидеть и "пощупать" решение многих алгебраических задач, в первую очередь, уравнений.

У любого уравнения есть левая и правая части. Можно ввести функцию , равную левой части, и , равную правой части. Уравнение в таком случае принимает вид:

Две функции, зависящие от одного и того же аргумента, равны. Если построить графики этих функций в одной системе координат, решения уравнения можно увидеть наглядно. Пересечения графиков двух функций — это точки, принадлежащие и первой, и второй функции. Иными словами, это такие точки, в которых значения двух функций от одного и того же аргумента равны, чего и требует уравнение.

Изобразим две функции, на данном этапе не имеет значения то, как они выглядят. График каждой функции — это множество точек, удовлетворяющих выражению, которое задает функцию. В каждой точке зеленого графика , в каждой точке красного графика . Иными словами, все точки графика первой функции можно записать как , второго — .

Наша задача — решить уравнение:

Задача сводится к поиску точек, общих для двух графиков, — для этого удобно изобразить их в одних координатах. Точки пересечения графиков — это точки, в каждой из которых функции и равны между собой, значит, их -координаты являются решениями уравнения.