Продвинутому ученику полезно объяснить, откуда берутся формулы производных элементарных функций. Чтобы не перегружать сложными математическими выкладками, лучше привести пример вывода для относительно простых функций. Здесь рассмотрим две функции: линейную и квадратичную

Рассмотрим функцию . Запишем определение производной:

Рассмотрим функцию , где — произвольные числа:

Так как любой постоянный множитель можно вынести за знак предела, то и при взятии производной такой множитель остается на месте. Любой свободный коэффициент самоустраняется при взятии производной, так как мы вычитаем функцию саму из себя.

Вычислим по определению производную функции :

Вычисление производной квадратичной функции в общем виде требует уже более громоздких выкладок, но принцип используется всё тот же. Если у переменной есть множитель, то он сохраняется, производная берется вне зависимости от его наличия. Все свободные коэффициенты самоустраняются.