Перед прохождением темы лучше освежить знания:

Производная функции в конкретной точке показывает нам, куда функция в этот момент направлена (убывает или возрастает). На графике возрастание и убывание видно невооруженным глазом, но значение производной "на глаз" вычислить не получится. Задача стоит такая: по графику функции геометрически определить значение производной в заданной точке.

Решение этой задачи заключается в исследовании наклона графика функции в этой точке, но наклон меняется от точки к точке. Поэтому удобным инструментом для "измерения" наклона графика в конкретной точке является касательная: её угол наклона будет совпадать с углом наклона графика.

Геометрически производная это тангенс острого угла бесконечно маленького прямоугольного треугольника: отношение приращения функции (противолежащий катет) к приращению аргумента (прилежащий катет). Касательная проходит ровно вдоль гипотенузы такого прямоугольного треугольника, её угол с осью остается таким же.

В точках, где функция возрастает, касательная направлена "вверх" и угол находится в пределах от до , значит, тангенс угла наклона положителен, следовательно, положительна производная в этой точке. Если функция в данной точке убывает, то касательная направлена "вниз", , тангенс такого угла отрицателен, поэтому производная отрицательна.