Понятие вектора
Определение:
Вектор — это направленный отрезок
Вектор — это направленный отрезок
Мы привыкли работать с различными числами, у нас есть представление о том, что это такое и о правилах работы с ними. Вектор — это немного другая математическая конструкция, правила сложения и умножения с ними работают иначе. Идейно самый важный момент заключается в том, что при работе с вектором нам совершенно неважно, где он находится в пространстве (на левом рисунке показан один и тот же вектор, расположенный в разных местах). Нас интересует лишь его направление, которое в плоскости можно задать парой чисел — “смещением” по оси x и по оси y. В таком случае x-координата вектора определяется как разность между x-координатами конца и начала вектора, аналогичным образом определяется y-координата и, если речь идёт о векторе в пространстве, то и z-координата. При этом координата положительна, если вектор направлен в ту же сторону, что и координатная ось, и отрицательна в обратном случае. На правом рисунке приведен пример вектора с координатами {7; -6}. Обычно координаты векторов записываются в фигурных скобках, но в литературе и задачах можно встретить запись и в круглых скобках.
Вектор можно произвольно перемещать в пространстве. Если не менять длину и не вращать его, то сам вектор останется прежним при любых перемещениях
Коллинеарность и сонаправленность
Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых
Сонаправленные векторы — коллинеарные векторы, направленные в одну сторону
Сонаправленные векторы — коллинеарные векторы, направленные в одну сторону
Длина вектора
Вектор с его координатами можно представить как прямоугольный треугольник. Длину вектора в таком случае можно записать, используя теорему Пифагора. Длина вектора будет гипотенузой такого треугольника, поэтому мы сможем вычислить её по простой формуле:
Сложение векторов
Векторы, как и числа, можно друг с другом складывать (и вычитать), причём двумя способами — геометрически и в координатах
Геометрический метод
Для того чтобы сложить векторы геометрически, нужно начало одного вектора совместить с концом другого. Суммой будет являться вектор, соединяющий начало и конец всей конструкции, как показано на рисунке. Складывать таким образом можно произвольное количество векторов, такой способ называется правилом многоугольника.
Для вычитания векторов годится такой же способ, без использования новых правил. Если нам нужно вычесть , достаточно будет заменить вычитание сложением следующим образом:
Для вычитания векторов годится такой же способ, без использования новых правил. Если нам нужно вычесть , достаточно будет заменить вычитание сложением следующим образом:
Вектор совпадает с вектором и имеет противоположное направление (знак минус перед вектором меняет его начало и конец местами)
Координатный метод
Если известны координаты векторов и , то координаты вектора вычисляются следующим образом:
Умножение вектора на число
В геометрическом смысле умножение вектора на число изменяет его длину: если число больше 1, то длина вектора увеличивается, если меньше 1 — уменьшается. Умножение вектора на число создает новый вектор, коллинеарный исходному. В координатах происходит умножение каждой координаты вектора на это число:
При умножении векторов на число работают те же привычные правила, что и с числами:
Скалярное произведение
Мы умеем умножать друг на друга числа, а также умножать вектор на число. Но есть операция для умножения векторов друг на друга — скалярное произведение — которая двум векторам ставит в соответствие число. Скалярное произведение можно записать двумя способами, со скобками и без: и . Можно встретить также форму , но она относится скорее к математическому “жаргону”. Правильнее записывать скалярное произведение двумя указанными выше способами.
В школьном курсе используется две формулы для нахождения скалярного произведения. Итак, у нас есть векторы , и угол между ними , их скалярное произведение:
Из двух этих формул получается формула для нахождения косинуса угла между векторами:
